Question

【題目】已知矩形EFMN，，，以EF的中點O為原點，建立如圖的平面直角坐標系，若橢圓以E，F為焦點，且經過M，N兩點.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線與相交于A，B兩點，在y軸上是否存在點C，使得△ABC為正三角形，若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 或

【解析】

(1)根據橢圓的定義求解標準方程即可.

(2)先假設軸上存在點使得為等邊三角形,設中點為,再根據幾何關系可知,再聯立直線與橢圓方程,利用弦長公式等列式計算即可.

(1)設橢圓的方程為,,

則根據題意有,由橢圓的定義有,

,故,所以.

故橢圓的方程為.

(2) 假設軸上存在點使得為等邊三角形,設.

中點為,則,.

聯立 ,整理得.

則,解得.

由韋達定理得,,

故,

又,,即,則直線的方程為,令,可得,即.

又因為,故,

即 .解得,滿足.

故軸上存在點使得為等邊三角形,此時或