Question

已知四邊形ABCD為菱形，AB=6，∠BAD=60°，兩個正三棱錐P-ABD、S-BCD（底面是正三角形且頂點在底面上的射影是底面正三角形的中心）的側棱長都相等，如圖，E、M、N分別在AD、
AB、AP上，且AM=AE=2，AN=

1

3

AP，MN⊥PE．
（Ⅰ）求證：PB⊥平面PAD；
（Ⅱ）求平面BPS與底面ABCD所成銳二面角的平面角的正切
值；
（Ⅲ）求多面體SPABC的體積．

Answer 1

分析：（I）取AD中點O，連PO，BO，由等腰三角形三線可一，可得PO⊥AD，BO⊥AD，進而根據線面垂直的判定和性質可得AD⊥PB，由平行線分線段成比例定理，可證得MN∥PB，結合MN⊥PE得PB⊥PE，進而根據線面垂直的判定定理得到PB⊥平面PAD；
（Ⅱ）設P，S在底面的射影分別為P₁，S₁，取PS中點K，連接BK，DK，由線面夾角的定義，可得∠KBD即可為平面BPS與底面ABCD所成銳二面角的平面角，解三角形即可得到平面BPS與底面ABCD所成銳二面角的平面角．
（III）設P，S在△ABD和△BDC上的射影為H₁，H₂，根據PS∥AC，可得B-ACSP為四棱錐，分別計算四棱錐底面面積和高，代入即可得到多面體SPABC的體積．

解答：證明：（Ⅰ）取AD中點O，連PO，BO，則PO⊥AD，BO⊥AD
AD⊥平面PBO，
∴AD⊥PB（2分）
又 AN=

1

3

AP，AM=

1

3

AB
∴MN∥PB
∵MN⊥PE
∴PB⊥PE
∵PE∩AD=E
∴PB⊥平面PAD（3分）
解：（Ⅱ）設P，S在底面的射影分別為P₁，S₁，則
由所給的三棱錐均為正三棱錐且兩三棱錐全等，
故PP₁∥SS₁，且PP₁=SS₁，∴四邊形PSS₁P₁為平行四邊形，
∴PS∥S₁P₁，又P₁，S₁分別為△ABD，△BCD的中心，
∴P₁，S₁在菱形的對角線AC上，
∴PS∥AC，即PS∥平面ABCD…（5分）
設平面PSB與平面ABCD的交線為l，取PS中點K，連接BK，DK，
由PB=BS=PD=DS?

BK⊥PS DK⊥PS BK∩DK=K

?PS⊥平面KBD
∴BD⊥PS?

l⊥KB l⊥BD

?∠KBD為平面PSB與平面ABCD所成二面角的平面角…（7分）
在Rt△PP₁A中，AP1=

2

3

×ABsin600=

2

3

×6×

3

2

=2

3

，
∴PP1=

AP2-A P 2 1

=

6

=KO，
∴tan∠KBD=

KO

BO

=

6

3

…（9分）
（III）設P，S在△ABD和△BDC上的射影為H₁，H₂，則H₁，H₂在直線AC上且PH₁∥SH₂，且PH₁=SH₂，
∴則H₁H₂SP為平行四邊形，
∴PS∥AC
∴B-ACSP為四棱錐…7分
設PB=a，則PO²=a²-9，又BO=3

3

，由（1）知∠BPO=90°
∴a²+a²-9=（3

3

）²，
∴a²=18，即PB=3

2

∵PH₁⊥平面ABD，
∴PH₁⊥BD，
又BD⊥AC
∴BD⊥平面ACSP
設AC∩BD=F
∵四棱錐B-ACSP的高為BF，且BF=3…（9分）
∵H₁F=

1

3

AF，H₂F=

1

3

CF，
∴H₁H₂=

1

3

AC=2

3

，
∴PS=2

3

，
在Rt△PH₁A中，
PH₁=

PA2-A1H

=

6

∴S_ACSP=

(2 3 +6 3 )×6

2

=12

2

∴多面體SPABC的體積V=

1

3

•12

2

•3=12

2

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面垂直的判定，其中（I）的關鍵是證得AD⊥PB，PB⊥PE，（II）的關鍵是證得∠KBD即可為平面BPS與底面ABCD所成銳二面角的平面角，（III）的關鍵是證得B-ACSP為四棱錐．