Question

如圖，在棱長為1的正方體AC₁中，E、F分別為A₁D₁和A₁B₁的中點．
（1）求異面直線AF和BE所成的角的余弦值：
（2）求平面ACC₁與平面BFC₁所成的銳二面角：
（3）若點P在正方形ABCD內部或其邊界上，且EP∥平面BFC₁，求EP的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）建立空間直角坐標系，用坐標表示向量

AF

、

BE

，利用向量的夾角公式，可求異面直線AF和BE所成的角的余弦值：
（2）確定平面ACC₁、平面BFC₁的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得平面ACC₁與平面BFC₁所成的銳二面角；
（3）用坐標表示出

EP

=(x-

1

2

，y，-1)，求出模長，利用配方法，即可求得EP的取值范圍．

解答：解：（1）以D為原點，DA，DC，DD₁分別為x，y，z軸，建立如圖所示的直角坐標系，
則A（1，0，0），E（

1

2

，0，1），B（1，1，0），F（1，

1

2

，1）．
∴

AF

=（0，

1

2

，1），

BE

=（-

1

2

，-1，1），
∴cos＜

AF

，

BE

＞=

1 2

1 4 +1 × 1 4 +1+1

=

2 5

15

；
（2）平面ACC₁的一個法向量為

DB

=(1，1，0)
設平面BFC₁的法向量為

n

=(x，y，z)
由

n • BF =0 n • BC =0

，可得

- 1 2 y+z=0 -x+z=0

，
∴

x=z y=2z

，可取z=1，則

n

=(1，2，1)
∴cos＜

DB

，

n

＞=

DB • n

| DB || n |

=

1+2

2 × 6

=

3

2

∵＜

DB

，

n

＞為銳角
∴所求的銳二面角為

π

6

；
（3）設P（x，y，0）（0≤x≤1，0≤y≤1），則

EP

=(x-

1

2

，y，-1)
由

EP

•

n

=0得(x-

1

2

)+2y-1=0，即x=-2y+

3

2

，
∵0≤x≤1，∴0≤-2y+

3

2

≤1，∴

1

4

≤y≤

3

4

∵

EP

=(x-

1

2

，y，-1)
∴|

EP

|=

5y2-4y+2

=

5(y- 2 5 )2+ 6 5

∵

1

4

≤y≤

3

4

，∴當y=

2

5

時，|

EP

|min=

30

5

；當y=

3

4

時，|

EP

|max=

29

4

，
故EP的取值范圍為[

30

5

，

29

4

]．

點評：本題考查向量知識的運用，考查線線角、面面角，考查線段長的取值范圍，考查學生的計算能力，用坐標表示向量是關鍵．