Question

已知甲乙二人射擊的命中率分別為

1

2

和

3

4

，現(xiàn)在兩人各備3發(fā)子彈對同一目標(biāo)進(jìn)行射擊，射擊規(guī)則如下：①通過投擲一枚均勻硬幣來決定誰先射擊；②如果射中，就接著射，如果射不中，就換另一人射；③目標(biāo)被命中3槍或子彈用光就結(jié)束射擊（當(dāng)一人用光，但目標(biāo)中彈不到3次時(shí)，另一人可連續(xù)射擊，直到目標(biāo)被命中3次或子彈用光為止）．求：
（1）兩人都有機(jī)會(huì)射擊的概率；
（2）恰好用4槍結(jié)束射擊的概率．

Answer 1

分析：（1）分兩種情況討論，①甲先射擊且給乙留下機(jī)會(huì)，②乙先射擊且給甲留下機(jī)會(huì)，由相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算可得每種情況的概率，進(jìn)而將其相加可得答案；
（2）記“甲射擊一次命中”為事件A，“乙射擊一次命中”為事件B，則P（A）=

1

2

，P（B）=

3

4

，進(jìn)而分析可得，恰好用4槍結(jié)束射擊，甲先射擊時(shí)包含

.

A

BBB，A

.

A

BB，AA

.

A

B三種情況，乙先射擊時(shí)包含

.

B

AAA，B

.

B

AA，BB

.

B

A三種情況；由相互獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算可得每種情況的概率，進(jìn)而將其相加可得答案．

解答：解：（1）甲先射擊且給乙留下機(jī)會(huì)的概率為

1

2

×(1-

1

23

)=

7

16

，
乙先射擊且給甲留下機(jī)會(huì)的概率為

1

2

×[1-(

3

4

)3]=

37

128

，
兩人都有機(jī)會(huì)射擊的概率為P₁=

7

16

+

37

128

=

93

128

；
（2）記“甲射擊一次命中”為事件A，“乙射擊一次命中”為事件B，則P（A）=

1

2

，P（B）=

3

4

．
4槍結(jié)束射擊的概率P₂=

1

2

P(

.

A

BBB+A

.

A

BB+AA

.

A

B)+

1

2

P(

.

B

AAA+B

.

B

AA+BB

.

B

A)
=

1

2

(

1

2

×

33

43

+

1

22

×

32

42

+

1

23

×

3

4

)+

1

2

(

1

4

×

1

23

+

3

4

×

1

4

×

1

22

+

32

42

×

1

4

×

1

2

)
=

19

64

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查相互獨(dú)立事件的概率的乘法公式與互斥事件概率的加法公式的運(yùn)用，注意根據(jù)題意，全面分析事件可能的情況．