Question

已知函數，且.

（1）判斷的奇偶性并說明理由；

（2）判斷在區間上的單調性，并證明你的結論；

（3）若在區間上，不等式恒成立，試確定實數的取值范圍.

 

Answer 1

（1）函數在上為奇函數；（2）函數在上是增函數（3）實數的取值范圍是

【解析】

試題分析：（1）由條件可求得函數解析式中的值，從而求出函數的解析式，求出函數的定義域并判斷其是否關于原點對稱（這一步很容易被忽略），再通過計算，與進行比較解析式之間的正負，從而判斷的奇偶性；（2）由（1）可知函數的解析式，根據函數單調性的定義法進行判斷求解，（常用的定義法步驟：取值；作差；整理；判斷；結論）；（3）由（1）可將函數解析式代入不等式可得，經未知數與待定數分離得，在區間上求出的最小值，從而確定實數的取值范圍.

試題解析：（1）由得：

∴，其定義域為關于原點對稱

又

∴函數在上為奇函數。 4分

（2）函數在上是增函數，證明如下：

任取，且，則，

那么

即 ∴函數在上是增函數。 8分

（3）由，得

，在區間上，的最小值是，，得，

所以實數的取值范圍是. 14分

考點：1.函數的概念、奇偶性、單調性、最值；2.不等式.