Question

已知f（x）=（1+x）^m+（1+x）ⁿ（m，n∈N^*）的展開式中x的系數(shù)為19，求f（x）的展式式中x²的系數(shù)的最小值．

Answer 1

分析：利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出展開式的x的系數(shù)，列出方程得到m，n的關(guān)系；利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出x²的系數(shù)，
將m，n的關(guān)系代入得到關(guān)于m的二次函數(shù)，配方求出最小值

解答：解：f（x）=1+C_m¹x+C_m²x²+…+C_m^mx^m+1+C_n¹x+…+C_nⁿxⁿ=2+（C_m¹+C_n¹）x+（C_m²+C_n²）x²+…（2分）
由題意m+n=19（m，n∈N^*）…（4分）
x²項(xiàng)的系數(shù)為

C

2 m

+

C

2 n

=

m(m-1)

2

+

n(n-1)

2

=(m-

19

2

)2+

19×17

4

…（8分）
∵m，n∈N^*
∴當(dāng)m=9或10時(shí)，即m=10，n=9或m=9，n=10時(shí)，x²項(xiàng)的系數(shù)取得最小值，最小值為81…（12分）

點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，本題考查利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開式的特殊項(xiàng)問題；利用賦值法求二項(xiàng)展開式的系數(shù)和問題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．