Question

已知圓C₁的方程為x²+y²+4x-5=0，圓C₂的方程為x²+y²-4x+3=0，動圓C與圓C₁、C₂相外切．
（I）求動圓C圓心軌跡E的方程；
（II）若直線l過點（2，0）且與軌跡E交于P、Q兩點．
①設點M（m，0），問：是否存在實數m，使得直線l繞點（2，0）無論怎樣轉動，都有
•=0成立？若存在，求出實數m的值；若不存在，請說明理由；
②過P、Q作直線x=的垂線PA、QB，垂足分別為A、B，記λ=，求λ，的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）|CC₁|-|CC₂|=r₁-r₂=2，圓心C的軌跡E是以C₁、C₂為焦點的雙曲線右支，由c=2，2a=2，知b²=3，由此能注出軌跡E的方程．
（II）當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-2），與雙曲線方程聯立消y得（k²-3）x²-4k²x+3=0，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），解得k²＞3.=．
①假設存在實數m，使得，故得2（1-m²）+k²（m²-4m-5）=0，對任意的k²＞3恒成立，解得m=-1．由此能夠導出存在m=-1，使得．
②由a=1，c=2，知直線是雙曲線的右準線，所以，|QB|=|QF₂|，=，由k²＞3，知．當斜率不存在時，．由此能求出λ的取值范圍．
解答：解：（I）圓C₁的圓心C₁（-2，0），半徑，
圓C₂的圓心C₂（2，0），半徑，
|CC₁|-|CC₂|=r₁-r₂=2，
圓心C的軌跡E是以C₁、C₂為焦點的雙曲線右支，由c=2，2a=2，
∴b²=3，
故軌跡E的方程為．…（4分）
（II）當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-2），
與雙曲線方程聯立消y得
（k²-3）x²-4k²x+3=0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴，
解得k²＞3．
∵
=（x₁-m）（x₂-m）+k²（x₁-2）（x₂-2）
=+4k²
=．
①假設存在實數m，使得，故得
2（1-m²）+k²（m²-4m-5）=0，
對任意的k²＞3恒成立，
∴，
解得m=-1．
∴當m=-1時，．
當直線l的斜率不存在時，由P（2，3），Q（2，-3）及M（1，0）知結論也成立．
綜上所述，存在m=-1，使得．
②∵a=1，c=2，
∴直線是雙曲線的右準線，
∴，|QB|=|QF₂|，
∴
=
=
=，
∵k²＞3，
∴，
∴．
當斜率不存在時，|PQ|=|AB|，此時．
故．
點評：本題主要考查拋物線標準方程，簡單幾何性質，直線與拋物線的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．