Question

已知函數f(x)=cos(x+

π

2

)，g(x)=sin(x-

π

2

)，給出下列命題：
①函數y=f（x）g（x）的最小正周期為2π；
②函數y=f（x）-g（x）的最大值是

2

；
③函數y=f（2x）的圖象可由y=g（2x）的圖象向左平移

π

4

個單位得到；
④函數y=f（2x）的圖象可由y=g（2x）的圖象向右平移

π

4

個單位得到．
其中正確命題的序號是

 

．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析：對f（x）g（x）根據誘導公式和二倍角公式進行化簡，進而可求出其最小正周期可判斷①；根據誘導公式和兩角和與差的公式進行化簡，進而可求得最大值，可判斷②；根據三角函數平移的左加右減原則進行平移可判斷③和④．

解答：解：∵f（x）g（x）=cos（x+

π

2

）sin（x-

π

2

）=sinxcosx=

1

2

sin2x
∴T=

2π

2

=π，故①不對；
∵y=f（x）-g（x）=cos（x+

π

2

）-sin（x-

π

2

）=cosx-sinx=

2

cos（x+

π

4

）
∴y=f（x）-g（x）的最大值為

2

，故②正確；
將y=g（2x）=sin（2x-

π

2

）向左平移

π

4

得到y=sin[2（x+

π

4

）-

π

2

]=sin2x
又∵y=f（2x）=cos（2x+

π

2

）=-sin2x
故③不對；
將y=g（2x）=sin（2x-

π

2

）向右平移

π

4

得到y=sin[2（x-

π

4

）-

π

2

]=-sin2x
又∵y=f（2x）=cos（2x+

π

2

）=-sin2x
故④正確
故答案為：②④．

點評：本題主要考查三角函數的最小正周期、最值和三角函數的平移問題．考查基礎知識的綜合應用和靈活應用能力．對三角函數的考查以基礎題為主，平時要注意基礎知識的積累和練習．