Question

（2009天津卷文）（本小題滿分14分）

已知橢圓（）的兩個焦點分別為，過點的直線與橢圓相交于點A,B兩點，且

（Ⅰ求橢圓的離心率

（Ⅱ）直線AB的斜率；

（Ⅲ）設點C與點A關于坐標原點對稱，直線上有一點H(m,n)()在的外接圓上，求的值。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】 （1）解：由，得,從而

，整理得，故離心率

（2）解：由（1）知，，所以橢圓的方程可以寫為

設直線AB的方程為即

由已知設則它們的坐標滿足方程組  

消去y整理，得

依題意，

而，有題設知，點B為線段AE的中點，所以

聯立三式，解得，將結果代入韋達定理中解得

(3)由（2）知，，當時，得A由已知得

線段的垂直平分線l的方程為直線l與x軸的交點是的外接圓的圓心，因此外接圓的方程為

直線的方程為，于是點滿足方程組由，解得，故

當時，同理可得

【考點定位】本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質，直線方程，圓的方程等基礎知識。考查用代數方法研究圓錐曲線的性質和數形結合的思想，考查運算能力和推理能力。