Question

已知有公共焦點的橢圓與雙曲線中心為原點,焦點在x軸上,左右焦點分別為F₁,F₂,且它們在第一象限的交點為P,△PF₁F₂是以PF₁為底邊的等腰三角形.若|PF₁|=10,雙曲線的離心率的取值范圍為(1,2).則該橢圓的離心率的取值范圍是__________.

Answer 1

如圖,設橢圓的長半軸長,半焦距分別為a₁,c,雙曲線的半實軸長,半焦距分別為a₂,c,

|PF₁|=m,|PF₂|
=|F₁F₂|=n,
則⇒
問題轉化為：已知1<<2,求的取值范圍.
由1<<2知<<1,
即<<2,因此<+1<3,
即<<3,所以<<.