Question

【題目】設橢圓的離心率，圓與直線相切，為坐標原點．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點任作一直線交橢圓于兩點，記，若在線段上取一點,使得，試判斷當直線運動時，點是否在某一定直一上運動？若是，請求出該定直線的方程；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點在定直線上．

【解析】

試題分析：（1）由離心率,及圓心與直線相切,可得關于的兩個關系式,解得值,可得橢圓的方程；（2）由題可設直線方程與橢圓方程聯立,消去利用根與系數的關系和向量的坐標運算,可得值,設出點坐標, 由,可得點橫坐標為．

試題解析：

（1）由，∴，∴，又，

解得，所以橢圓的方程為．

（2）直線的斜率必存在，設其直線方程為，

并設，，聯立方程，

消去得，則

，，

由，得，故．

設點的坐標為，則由，得，

解得

又，

，從而，

故點在定直線上．