Question

指針位置	A區域	B區域	C區域
返存金額（單位：元）	60	30	0

五一節期間，某商場為吸引顧客消費推出一項優惠活動．活動規則如下：消費額每滿100元可轉動如
圖所示的轉盤一次，并獲得相應金額的返券．（假定指針等可能地停在任一位置，指針落在區域的邊界時，重新轉一次）指針所在的區域及對應的返劵金額見右上表．
例如：消費218元，可轉動轉盤2次，所獲得的返券金額是兩次金額之和．
（1）已知顧客甲消費后獲得n次轉動轉盤的機會，已知他每轉一次轉盤指針落在區域邊界的概率為p，每次轉動轉盤的結果相互獨立，設ξ為顧客甲轉動轉盤指針落在區域邊界的次數，ξ的數學期望Eξ=

1

25

，標準差σξ=

3 11

50

，求n、p的值；
（2）顧客乙消費280元，并按規則參與了活動，他獲得返券的金額記為η（元）．求隨機變量η的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（1）依題意知，ξ服從二項分布ξ～B（n，p），再由二項分布的期望公式與二項分布的方差公式可得方程組，進而求出p與n的值．
（2）設指針落在A，B，C區域分別記為事件A，B，C，再計算出P(A)=

1

6

，P(B)=

1

3

，P(C)=

1

2

，以及隨機變量η的可能值為0，30，60，90，120，然后根據相互獨立事件的概率乘法公式分布得到其發生的概率，假若求出離散型隨機變量的分布列與期望．

解答：解：（1）依題意知，ξ服從二項分布ξ～B（n，p），
∴由二項分布的期望公式可得：Eξ=np=

1

25

--------------------------①-----------------（1分）
又因為根據二項分布的方差公式可得：Dξ=(σξ)2=np(1-p)=

99

2500

-----------------②-------（2分）
由①②聯立解得：n=4，p=

1

100

---------------------------------------（4分）
（2）設指針落在A，B，C區域分別記為事件A，B，C．則P(A)=

1

6

，P(B)=

1

3

，P(C)=

1

2

．
由題意得，該顧客可轉動轉盤2次，所以隨機變量η的可能值為0，30，60，90，120．---------------------（5分）
則有P(η=0)=

1

2

×

1

2

=

1

4

；P(η=30)=

1

2

×

1

3

×2=

1

3

；P(η=90)=

1

3

×

1

6

×2=

1

9

；
P(η=60)=

1

2

×

1

6

×2+

1

3

×

1

3

=

5

18

；P(η=120)=

1

6

×

1

6

=

1

36

．-----------------------------（10分）
所以，隨機變量η的分布列為：

P	0	30	60	90	120
η	1 4	1 3	5 18	1 9	1 36

所以其數學期望Eη=0×

1

4

+30×

1

3

+60×

5

18

+90×

1

9

+120×

1

36

=40-------------------（12分）

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握二項分布的期望與方差公式與離散型隨機變量的分布列、期望、方差，以及相互獨立事件的概率乘法公式，此題屬于中檔題，是高考經常涉及的考點之一．