Question

設函數f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若對所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（－∞，1]

令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，對函數g(x)求導數：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a
令g′(x)＝0，解得x＝e^a－1－1，
(1)當a≤1時，對所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函數，
又g(0)＝0，所以對x≥0，都有g(x)≥g(0)，
即當a≤1時，對于所有x≥0，都有　f(x)≥ax．
(2)當a＞1時，對于0＜x＜e^a－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，e^a－1－1)是減函數，
又g(0)＝0，所以對0＜x＜e^a－1－1，都有g(x)＜g(0)，
即當a＞1時，不是對所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．
綜上，a的取值范圍是（－∞，1]．