Question

（2010•廣東模擬）已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，其中主視圖、側視圖是直角三角形，俯視圖是有一條對角線的正方形．E是側棱PC上的動點．
（Ⅰ）求證：BD⊥AE
（Ⅱ）若E為PC的中點，求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；
（Ⅲ）若五點A，B，C，D，P在同一球面上，求該球的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證BD⊥AE，只要證BD⊥面PAC，只需證BD⊥AC，BD⊥PC；（Ⅱ）要求直線BE與平面PBD所成角的正弦值，必須找到直線BE在平面PBD內的射影，由（Ⅰ）易找面PBD的垂線，歸結為解直角三角形；（Ⅲ）補圖，把原圖形補成一個長方體，即求該長方體的外接球的體積．

解答：（Ⅰ）證明：由已知PC⊥BC，PC⊥DC⇒PC⊥面ABCD
∵BD?面ABCD⇒BD⊥PC，
又因為BD⊥AC，∴BD⊥面PAC，
又∵AE?面PAC，∴BD⊥AE．
（Ⅱ）解；連AC交BD于點O，連PO，
由（1）知BD⊥面PAC，⇒面BED⊥面PAC，過點E作EH⊥PO于H，則EH⊥面PBD，
∴∠EBH為BE與平面PBD所成的角．
∵EH=

1

3

，BE=

2

，
則sin∠EBH=

1 3

2

=

2

6

．
（Ⅲ）解：以正方形ABCD為底面，PC為高補成長方體，此時對角線PA的長為球的直徑，
∴2R=PA=

1+1+4

=

6

，所以R=

6

2

．
V球=

4

3

πR3=

6

π．

點評：考查簡單的空間圖形的三視圖，和線面垂直的判定和性質定理，以及線面角的求法，和幾何體的外接球的體積等知識，綜合性強，思維跨度大，體現了轉化的思想方法，和割補法，屬中檔題．