Question

已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓焦距為2，離心率為

1

2

（1）求橢圓的標準方程
（2）若直線l過點（1，2）且傾斜角為45°且與橢圓相交于A，B兩點，求弦長|AB|．

Answer 1

（1）∵焦點在x軸上的橢圓焦距為2，離心率為

1

2

，
∴c=1，

c

a

=

1

2

，
∴a=2，
∴b²=a²-c²=3，
∴所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
∵直線l過點（1，2）且傾斜角為45°，
∴直線l的方程為y=x+1，
代入橢圓方程，消去y可得7x²+8x-8=0，
∴x₁+x₂=-

8

7

，x₁x₂=-

8

7

∴|x₁-x₂|=

( 8 7 )2+4• 8 7

=

12 2

7

因此，|AB|=

2

•|x₁-x₂|=

24

7

．