Question

已知一動圓P與定圓（x-1）²+y²=1和y軸都相切，
（1）求動圓圓心P的軌跡M的方程；
（2）過定點A（1，2），作△ABC，使∠BAC=90°，且動點B，C在P的軌跡M上移動（B，C不在坐標軸上），問直線BC是否過某定點？證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）利用動圓P與定圓（x-1）²+y²=1和y軸都相切得到關于動圓圓心P等式，整理可得動圓圓心P的軌跡M的方程；
（2）先利用∠BAC=90°求出B、C的坐標之間的關系式以及BC的直線方程，再利用B、C是拋物線上的點代入，可以觀察出直線BC所過的定點坐標．

解答：解：（1）設動點P的坐標為（x，y），由題設知：

(x-1)2+y2

-1=|x|3′
化簡得：x＞0時，y²=4x．
x＜0時，y=0
所以  P點的軌跡方程為y²=4x（x＞0）和y=0（x＜0）6′
（2）設B、C的坐標為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），又A（1，2）
∵∠BAC=90°，∴

AB

•

AC

=(x1-1，y1-2)•(x2-1，y2-2)=0
即（x₁-1）（x₂-1）+（y₁-2）（y₂-2）=0①
而BC的直線方程為（x₂-x₁）（y-y₁）=（y₂-y₁）（x-x₁）②8′
∵B、C在拋物線y²=4x上，
∴x₁=

y12

4

，x2=

y22

4

代入①式化簡得-2（y₁+y₂）-y₁y₂=20③10′
把x₁=

y12

4

，x2=

y22

4

代入②式化簡得BC的方程為（y₁+y₂）y-y₁y₂=4x④12′
對比③④可知，直線BC過點（5，-2），
∴直線BC恒過一定點（5，-2）14′

點評：在求動點的軌跡方程方程時，一般多時利用條件列出關于動點坐標的等式，再整理此等式即可．