Question

設等差數列{a_n}滿足：公差d∈N^*，an∈N*，且{a_n}中任意兩項之和也是該數列中的一項．若a₁=1，則d=

 

； 若a1=25，則d的所有可能取值之和為

 

．

Answer 1

分析：設a_p，a_q為等差數列{a_n}中的任意兩項，依題意a_l=a_p+a_q，從而可得關于d的關系式，依題意即可求得a₁=1時，d的值及a₁=32時，d的所有可能取值之和．

解答：解：設a_p，a_q為等差數列{a_n}中的任意兩項，依題意a_l=a_p+a_q，
即2a₁+（p+q-2）d=a₁+（l-1）d，
∴d=

a1

l+1-p-q

；
∴當a₁=1時，d=

1

l+1-p-q

，
∵l，p，q均為正整數，公差d∈N^*，
l+1-p-q=1，
∴d=1；
當a₁=2⁵=32時，
依題意，d=

32

l+1-p-q

∈N^*，
∴d的所有可能取值為1，2，4，8，16，32，
∴1+2+4+8+16+32=63，即d的所有可能取值之和為63．
故答案為：1，63．

點評：本題考查數列的求和，著重考查等差數列的通項公式，考查推理與運算能力，屬于難題．