Question

求函數的值域：y=

2x2-x+2

x2+x+1

．

Answer 1

分析：由于對任意一個實數y，它在函數f（x）的值域內的充要條件是關于x的方程（y-2）x²+（y+1）x+y-2=0有實數解，因此“求f（x）的值域．”這一問題可轉化為“已知關于x的方程（y-2）x²+（y+1）x+y-2=0有實數解，求y的取值范圍”．

解答：解：判別式法：∵x²+x+1＞0恒成立，∴函數的定義域為R．
由y=

2x2-x+2

x2+x+1

得：（y-2）x²+（y+1）x+y-2=0①
①當y-2=0即y=2時，①即3x+0=0，∴x=0∈R
②當y-2≠0即y≠2時，
∵x∈R時方程（y-2）x²+（y+1）x+y-2=0恒有實根，
∴△=（y+1）²-4×（y-2）²≥0，∴1≤y≤5且y≠2，
∴原函數的值域為[1，5]．

點評：判別式法：把x作為未知量，y看作常量，將原式化成關于x的一元二次方程形式，令這個方程有實數解，然后對二次項系數是否為零加以討論：
（1）當二次項系數為0時，將對應的y值代入方程中進行檢驗以判斷y的這個取值是否符合x有實數解的要求．
（2）當二次項系數不為0時，利用“∵x∈R，∴△≥0”求解，此時直接用判別式法是否有可能產生增根，關鍵在于對這個方程去分母這一步是不是同解變形．