Question

【題目】已知函數，.

（1）若，求證：函數恰有一個負零點；（用圖象法證明不給分）

（2）若函數恰有三個零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）由單調性的性質可判斷出在上單調遞減，利用零點存在定理可知存在唯一的使得，由此可證得結論；

（2）令，結合函數圖象可知，若恰有三個零點，則方程必有兩根，且，或，；當時可求得，不合題意；當，時，根據二次函數圖象可得到不等式組，由此解得結果.

（1）若，則

時，單調遞減，單調遞減

當時，單調遞減

又，，則存在唯一的使得

即函數在區間恰有一個零點

（2）令，，要使得函數恰有三個零點

圖象如下圖所示：

則方程必有兩根，且，或，

①若，時，令

則，即，解得：

②若，則，即 ，不合題意

綜上所述：實數的取值范圍為