Question

（本小題滿分16分）設函數f（x）＝x⁴＋bx²＋cx＋d，當x＝t₁時，f（x）有極小值．
（1）若b＝－6時，函數f（x）有極大值，求實數c的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，若存在實數c，使函數f（x）在閉區間［m－2，m＋2］上單調遞增，求實數m的取值范圍；
（3）若函數f（x）只有一個極值點，且存在t₂∈（t₁，t₁＋1），使f ′（t₂）＝0，證明：函數g（x）＝f（x）－x²＋t₁x在區間（t₁，t₂）內最多有一個零點．

Answer 1

（1）－16<c<16．（2）－2<m<0，或m>4．（3）同解析

（1）因為 f（x）＝x⁴＋bx²＋cx＋d，
所以h（x）＝f ′（x）＝x³－12x＋c．……2分
由題設，方程h（x）＝0有三個互異的實根．
考察函數h（x）＝x³－12x＋c，則h ′（x）＝0，得x＝±2．

x	（－∞，－2）	－2	（－2，2）	2	（2，＋∞）
h ′（x）	＋	0	－	0	＋
h（x）	增	c＋16 （極大值）	減	c－16（ 極小值）	增

所以 故－16<c<16． ………………………………………………5分
（2）存在c∈（－16，16），使f ′（x）≥0，即x³－12x≥－c，  （*）
所以x³－12x>－16，
即（x－2）²（x＋4）>0（*）在區間［m－2，m＋2］上恒成立． …………7分
所以［m－2，m＋2］是不等式（*）解集的子集．
所以或m－2>2，即－2<m<0，或m>4． ………………………9分
（3）由題設，可得存在α，β∈R，
使f ′（x）＝x³+2bx＋c＝（x－t₁）（x²＋αx＋β），
且x²＋αx＋β≥0恒成立．又f´（t₂）＝0，且在x＝t₂兩側同號，
所以f´（x） ＝（x－t₁）（x－t₂）²．
另一方面，
g ′（x）＝x³＋（2b－1）x＋t₁＋c＝x³＋2bx＋c－（x－t₁）＝（x－t₁）［（x－t₂）²－1］．
因為 t₁ < x < t₂，且 t₂－t₁<1，所以－1< t₁－t₂ < x－t₂ <0．所以 0<（x－t₂）²<1，
所以（x－t₂）²－1<0．
而 x－t₁>0，所以g ′（x）<0，所以g（x）在（t₁，t₂）內單調減．
從而g（x）在（t₁，t₂）內最多有一個零點．…………………………………16分