Question

設P是焦點為F₁、F₂橢圓＞b＞0）上的任意一點，若∠F₁PF₂的最大值為60°，方程ax²+bx-c=0的兩個實根分別為x₁和x₂，則過點P（x₁，x₂）引圓x²+y²=2的切線共有    條．

Answer 1

【答案】分析：當P在橢圓的短軸頂點時，∠F₁PF₂的最大值，用c表示出a和b，化簡一元二次方程，求出根，得到點P的坐標，看點P到圓心的距離與半徑的關系，確定切線數量．
解答：解：當P在橢圓的短軸頂點時，∠F₁PF₂的最大值為60°，∴a=2c，b=c，
方程ax²+bx-c=0 即 2cx²+cx-c=0，即 2x²+x-1=0，此方程的2個根是、，
點P（，）到圓心的距離為=＞半徑，
點P在圓外，則切線由2條；
故答案為2．
點評：本題考查橢圓的性質及圓的切線方程．