Question

對于函數f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為函數f（x）的不動點．已知f（x）=x²+bx+c
（1）當b=2，c=-6時，求函數f（x）的不動點；
（2）已知f（x）有兩個不動點為，求函數y=f（x）的零點；
（3）在（2）的條件下，求不等式f（x）＞0的解集．

Answer 1

解：（1）f（x）=x²+2x-6，
由f（x）=x
∴x²+x-6=0
∴（x-2）（x+3）=0
∴x=2或x=-3
∴f（x）的不動點為2或-3
（2）∵f（x）有兩個不動點，即f（x）=x有兩個根
∴x²+（b-1）x+c=0
∵，
∴b=1，c=-2
∴f（x）=x²+x-2
令f（x）=0
即（x+2）（x-1）=0
解得x=-2或x=1
∴f（x）的零點為x=1或x=-2
（3）f（x）＞0
∴（x+2）（x-1）＞0
∴x＞1或x＜-2
∴f（x）＞0的解集為（-∞，-2）∪（1，+∞）
分析：（1）設x為不動點，則有f（x）=x，變形為x²+x-6=0，解方程即可．
（2）根據題中條件：“f（x）有兩個不動點f（x）=x有兩個根”得x²+（b-1）x+c=0利用根與系數的關系得出b，c的值，最后解方程f（x）=0即可得出f（x）的零點．
（3）由題意得f（x）＞0即（x+2）（x-1）＞0，解之即可．
點評：本題主要考查的知識點是二次函數的性質，方程的解法，方程根的情況以及函數的零點．其中根據已知中的新定義，構造滿足條件的方程是解答本題的關鍵．