Question

在四棱錐P-ABCD中，側面PDC是邊長2的正三角形且與底面ABCD垂直，底面ABCD是面積為2

3

的菱形，∠ADC為銳角．
（1）求證：PA⊥CD
（2）求二面角P-AB-D的大小．

Answer 1

（Ⅰ）過P作PE⊥CD于E連接AE
∵側面PDC⊥底面ABCD，PE?側面PDC，且PE⊥CD，
∴PE⊥底面ABCD
∵2×

1

2

AD•DCsin∠ADE=2

3

∴∠ADC=

π

3

故△ADC是邊長為2的等邊三角形
∵E為DC的中點，∴AE⊥CD
∴PA⊥CD
（Ⅱ）∵PA⊥CD，AE⊥CD，CD∥AB，∴PA⊥AB．AE⊥AB，
∴∠PAE就是二面角P-AB-D的平面角
∵△ADC和△PDC都是邊長為2的正三角形，
∴PE=AE，又∵PE⊥AE，
∴∠APE=45°即二面角P-AB-D的大小為45°．