Question

【題目】在直角坐標系中，動點（其中）到點的距離的倍與點到直線的距離的倍之和記為，且.

（Ⅰ）求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）設過點的直線與軌跡交于兩點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（）；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）根據題意列出方程，化簡即可求得；

（Ⅱ）分析可知，曲線只包括部分圖像，分兩種具體情況討論：當斜率不存在時和斜率存在時，先確定弦長對應斜率的范圍，聯立直線與橢圓的方程結合韋達定理表示出根與系數關系，利用焦半徑公式表示出，，結合前式韋達定理表示出關于的表達式，利用不等式性質即可求解

（Ⅰ）依題意，，

化簡得，

點的軌跡的方程為（）．

（Ⅱ）將代入曲線方程，解得，設點，．

由（Ⅰ）知，軌跡是橢圓在直線的右側的部分（包括點）．

可求出直線的斜率為，直線的斜率為.

（1）當直線的斜率不存在時，設，，

此時，.

（2）當直線的斜率存在時，直線的方程為.

由已知，直線與軌跡交于兩點，

則或.

設，，

由（Ⅰ）知，，，

所以

由，得.

則，

所以

因為或，

所以，

所以，

所以，即.

綜上可知，．