Question

設函數
（Ⅰ）當時，求的展開式中二項式系數最大的項；
（Ⅱ）對任意的實數，證明 :（是的導函數）；

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）見解析

本試題主要考查了二項式定理的運用，以及二項式系數的最大項的問題，和運用函數的思想解決不等式的恒成立問題的綜合運用。
(1)中，根據二項式系數的性質可知，二項式系數的最大項取決于冪指數為奇數還是偶數來得到
（2）中利用均值不等式的思想，表示出
和放縮法的思想得到
（Ⅰ）解：展開式中二項式系數最大的項是第3項，這項是
（Ⅱ）證法一：因


證法二：
因
而
故只需對和進行比較。
令，有 由，得
因為當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以在處有極小值故當時，，
從而有，亦即故有恒成立。
所以，原不等式成立。