Question

18、已知矩形ABCD，AB=2BC=2a，AB、CD的中點M、N，以MN為折線翻折平面AMND，使平面AMND⊥平面MBCN，P為MD上一點，Q為BN上一點，且有MP=BQ．
（1）求證PQ∥平面DNC；
（2）求證PQ⊥MN．

Answer 1

分析：（1）根據線面平行的判定定理，在平面DNC中，找出和PQ平行的直線即可，也可以證明PQ所在的某個平面和平面DNC平行
（2）PQ與MN是異面直線，可通過線面垂直來證明

解答：證明：（1）作PR∥MN交DN于R，作QT∥MN交于T，連接RT．
∵∠MDN=∠BNC=45°，DM=NB，PM=QB，PR∥MN，QT∥MN，
∴PR∥QT，且Rt△DRP≌Rt△NTQ，得PR=QT．
∴四邊形PQTR為平行四邊形，
∴PQ∥RT，
∴PQ∥平面DNC．

（2）證明：如圖，
∵RN⊥平面MBCN，NT⊥MN，
∴RT⊥MN，
又∵PQ∥RT，
∴PQ⊥MN．

點評：欲利用判定定理證明線面平行，就是根據題中的條件在這個平面內去找與已知直線平行的直線，從而完成過渡．