Question

已知分別以d₁，d₂為公差的等差數(shù)列{a_n}，{b_n}，滿足a₁=1，b₂₀₀₉=409．
（Ⅰ）若d₁=1，且存在正整數(shù)m，使得a_m²=b_m+2009-2009，求d₂的最小值；
（Ⅱ）若a_k=0，b_k=1600且數(shù)列a₁，a₂，…a_k-1，b_k，b_k+1，b_k+2…，b₂₀₀₉，的前項(xiàng)n和S_n滿足S₂₀₀₉=2012S_k+9045，求{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）要求d₂的最小值，我們可根據(jù)a_m²=b_m+2009-2009，數(shù)列{a_n}，{b_n}分別以d₁，d₂為公差的等差數(shù)列及a₁=1，b₂₀₀₉=409．我們可以將d₂構(gòu)造為關(guān)于m的函數(shù)，由于m為正整數(shù)，故可以用基本不等式求出d₂的最小值．
（2）由已知中a_k=0，b_k=1600且數(shù)列a₁，a₂，…a_k-1，b_k，b_k+1，b_k+2…，b₂₀₀₉，的前項(xiàng)n和S_n滿足S₂₀₀₉=2012S_k+9045，我們可以得到一個(gè)關(guān)于k的方程，解方程求出K值后，易得數(shù)列{a_n}的公差，代入即可求出{a_n}的通項(xiàng)公式

解答：證明：（Ⅰ）∵a_m²=b_m+2009-2009，
∴[a₁+（m-1）d₁]²=b₂₀₀₉+md₂-2009，
即m²=409+md₂-2009，
∴d2=m+

1600

m

≥2

m• 1600 m

=80．
等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)m=

1600

m

，
即m=40時(shí)成立，
故m=40時(shí)，[d₂]_min=80．
解：（Ⅱ）∵a_k=0，b_k=1600，a₁=1，b₂₀₀₉=409
∴S₂₀₀₉=（a₁+a₂+…+a_k-1）+（b_k+b_k+1+…+b₂₀₀₉）
=

(a1+ak-1)k

2

+

(bk+b2009)(2009-k+1)

2

=

k

2

+

2009(2010-k)

2

，
∵S₂₀₀₉=2012S_k+9045
=2012

(a1+ak)k

2

+9045=2012

k

2

+9045
∴2012•

k

2

+9045=

k

2

+

2009(2010-k)

2

∴4020k=2009×2010-18090，
∴2k=2009-9，
∴k=1000
故得a₁₀₀₀=0，又a₁=1，∴d1=-

1

999

，
∴an=a1+(n-1)d2=

1000

999

-

1

999

n．
因此{(lán)a_n}的通項(xiàng)公式為an=

1000

999

-

1

999

n．

點(diǎn)評(píng)：解答特殊數(shù)列（等差數(shù)列與等比數(shù)列）的問題時(shí)，根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于基本量的方程，解方程求出基本量，再根據(jù)定義確定數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，然后代入進(jìn)行運(yùn)算．