Question

【題目】已知是橢圓上的兩點.

（1）求橢圓的離心率；

（2）已知直線過點，且與橢圓交于另一點（不同于點），若以為直徑的圓經過點，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）將A和B點的坐標代入橢圓G的方程，列出方程組求出的值，再求出和離心率；
（2）由（1）求出橢圓G的方程，對直線的斜率進行討論，不妨設直線的方程，與橢圓G的方程聯立后，利用韋達定理寫出式子，將條件轉化為，由向量數量積的坐標運算列出式子，代入化簡后求出的值，即得直線的方程.

解：（1）由已知，

由點在橢圓上可得，

解得.

所以，

所以橢圓的離心率是；

（2）當直線過點且斜率不存在時，可得點，不滿足條件；

設直線的方程為），點，

由可得，

顯然，此方程兩個根是點和點的橫坐標，

所以，即，

所以，

因為以為直徑的圓經過點，

所以，即，

，

即，

，，

當時，即直線，與已知點不同于點矛盾，

所以，

所以直線的方程為.