Question

已知函數f（x）=ax³+cx+d（a≠0）是R上的奇函數，當x=1時，f（x）取得極值-2．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的單調區間；
（Ⅲ）求f（x）在區間[-3，3]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）由題中條件：“R上的奇函數”，得d=0，利用導數列出方程，即可求得參數得函數解析式；
（2）由f'（x）=3x²-3求得零點，利用導數的知識求得原函數的單調區間；
（3）欲求函數的最大值與最小值，通過列表格的方法研究原函數的單調性及在端點處和極值處的函數值的大小．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）是R上的奇函數，有f（-x）=-f（x），（1分）
即-ax³-cx+d=-ax³-cx-d，所以d=0．
因此f（x）=ax³+cx．（2分）
對函數f（x）求導數，得f'（x）=3ax²+c．（3分）
由題意得f（1）=-2，f'（1）=0，（4分）
所以

a+c=-2 3a+c=0.

（5分）
解得a=1，c=-3，
因此f（x）=x³-3x．（6分）

（Ⅱ）f'（x）=3x²-3．（7分）
令3x²-3＞0，解得x＜-1或x＞1，
因此，當x∈（-∞，-1）時，f（x）是增函數；當x∈（1，+∞）時，f（x）也是增函數．（8分）
再令3x²-3＜0，解得-1＜x＜1．
因此，當x∈（-1，1）時，f（x）是減函數．（9分）

（Ⅲ）令f'（x）=0，得x₁=-1或x₂=1．
當x變化時，f'（x）、f（x）的變化如下表．

從上表可知，f（x）在區間[-3，3]上的最大值是18，最小值是-18．（13分）

點評：本題考查了函數的單調性，利用導數判斷函數的單調性的步驟是：（1）確定函數的定義域；（2）求導數fˊ（x）；（3）在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）確定函數的單調區間．若在函數式中含字母系數，往往要分類討論．