Question

已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓：在軸正半軸上的焦點(diǎn)，過(guò)且斜率為的直線(xiàn)與交與、兩點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足.

(1)證明：點(diǎn)在上；
(2)設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，證明：、、、四點(diǎn)在同一圓上.

Answer 1

（1）見(jiàn)解析    （2）見(jiàn)解析

(1),的方程為,代入并化簡(jiǎn)得
.                  2分
設(shè),
則

由題意得
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.
經(jīng)驗(yàn)證點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程,故點(diǎn)在橢圓上 …6分
(2)由和題設(shè)知，，的垂直平分線(xiàn)的方程為
.                       ①
設(shè)的中點(diǎn)為,則,的垂直平分線(xiàn)的方程為
.                      ②
由①、②得、的交點(diǎn)為.         9分
,
,
,
,
,
故    ,
又     , ,
所以   ,
由此知、、、四點(diǎn)在以為圓心,為半徑的圓上.           2分
（2）法二： 

同理


所以互補(bǔ)，
因此A、P、B、Q四點(diǎn)在同一圓上。