Question

【題目】已知數列{an}的首項為1，Sn為數列{an}的前n項和，Sn+1=qSn+1，其中q＞0，n∈N* ．
（1）若2a2 ， a3 ， a2+2成等差數列，求an的通項公式；
（2）設雙曲線x2﹣ =1的離心率為en ， 且e2= ，證明：e1+e2++en＞ ．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵Sn+1=qSn+1 ①，∴當n≥2時，Sn=qSn﹣1+1 ②，兩式相加你可得an+1=qan，

即從第二項開始，數列{an}為等比數列，公比為q．

當n=1時，∵數列{an}的首項為1，∴a1+a2=S2=qa1+1，∴a2=q=a1q，

∴數列{an}為等比數列，公比為q．

∵2a2，a3，a2+2成等差數列，

∴2q+q+2=2q2，求得q=2，或 q=﹣ ．

根據q＞0，故取q=2，∴an=2n﹣1，n∈N*

（2）

證明：設雙曲線x2﹣ =1的離心率為en，

∴en= = ．

由于數列{an}為首項等于1、公比為q的等比數列，

∴e2= = = ，q= ，

∴an= ，∴en= = ＞ = ．

∴e1+e2++en＞1+ + +…+ = = ，原不等式得證

【解析】（1）由條件利用等比數列的定義和性質，求得數列{an}為首項等于1、公比為q的等比數列，再根據2a2 ， a3 ， a2+2成等差數列求得公比q的值，可得{an}的通項公式．
（2）利用雙曲線的定義和簡單性質求得en= ，根據e2= = ，求得q的值，可得{aspan>n}的解析式，再利用放縮法可得∴en= ＞ ，從而證得不等式成立．
本題主要考查等差數列、等比數列的定義和性質，用放縮法進行數列求和，數曲線的簡單性質，屬于難題．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用數列的前n項和的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．