Question

觀察下列各式：
①cos

π

3

=

1

2

；
②cos

π

5

cos

2π

5

=

1

4

；
③cos

π

9

cos

2π

9

cos

4π

9

=

1

8

；
④cos

π

17

cos

2π

17

cos

4π

17

cos

8π

17

=

1

16

；
歸納推出一般結論為

cos

π

2n+1

cos

2π

2n+1

cos

4π

2n+1

…cos

2n-1π

2n+1

=

1

2n

（n∈N^*）

．

Answer 1

分析：由已知中的①至④，我們分析等式兩邊式子中項數及各項的變化規律，歸納推理后可得結果．

解答：解：由已知中：
①cos

π

3

=

1

2

；
②cos

π

5

cos

2π

5

=

1

4

；
③cos

π

9

cos

2π

9

cos

4π

9

=

1

8

；
④cos

π

17

cos

2π

17

cos

4π

17

cos

8π

17

=

1

16

；
…
左邊都有n項余弦相乘，且各項分母都滿足2ⁿ+1，分子是一個以π為首項以2為公比的等比數列

1

2n

右邊都是

1

2n

的形式，由此可歸納推理出一般結論為：cos

π

2n+1

cos

2π

2n+1

cos

4π

2n+1

…cos

2n-1π

2n+1

=

1

2n

（n∈N^*）
故答案為：cos

π

2n+1

cos

2π

2n+1

cos

4π

2n+1

…cos

2n-1π

2n+1

=

1

2n

（n∈N^*）

點評：本題考查的知識點是歸納推理，其中從已知中的①至④，分析等式兩邊式子中項數及各項的變化規律，是解答的關鍵．