Question

如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，三角形ACD為等邊三角形，AD=DE=2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)
（1）求證：AF∥平面BCE；
（2）求證：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求二面角F-BE-C的大小．

Answer 1

分析：取CE中點(diǎn)G，以F為原點(diǎn)，F(xiàn)G為y軸，F(xiàn)B為y軸，F(xiàn)A為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，寫處相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，（1）只需證明

AF

=

BG

，即可利用線面平行的判定定理得證；（2）只需證明

DG

•

CE

=0，

DG

•

BG

=0，即可利用線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理證明結(jié)論；（3）由（2）得平面BCE的法向量為

DG

，求平面EFB的法向量

n

，利用空間向量夾角公式即可得二面角的余弦值

解答：解：如圖：取CE中點(diǎn)G，連接FG，DG，BG，則FG∥DE
∵DE⊥平面ACD，
∴FG⊥平面ACD
∵三角形ACD為等邊三角形
∴AF⊥CD
以F為原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AD=2
則A（-

3

，0，0），B（-

3

，0，1），C（0，-1，0），D（0，1，0）
E（0，1，2），F(xiàn)（0，0，0），G（0，0，1）
（1）∵

AF

=（

3

，0，0），

BG

=（

3

，0，0）
∴

AF

=

BG

∴AF∥BG，BG?平面BCE，AF?平面BCE
∴AF∥平面BCE
（2）∵

DG

=（0，-1，1），

CE

=（0，2，2），

BG

=（

3

，0，0）
∴

DG

•

CE

=0+（-2）+2=0，

DG

•

BG

=0+0+0=0
∴DG⊥CE，DG⊥BG，CE∩BG=G
∴DG⊥平面BCE，DG?平面CDE
∴平面BCE⊥平面CDE
（3）由（2）知，平面BCE的法向量為

DG

=（0，-1，1），
設(shè)平面BEF的法向量為

n

=（x，y，z）
∵

FE

=（0，1，2），

FB

=（-

3

，0，1）
∴

n • FE =y+2z=0 n • FB =- 3 x+z=0

取

n

=（

3

，-6，3）
∴cos＜

n

，

DG

＞=

n • DG

| n | | DG |

=

6+3

3+36+9 • 2

=

9

4 6

=

9 6

24

=

3 6

8

∴二面角F-BE-C的大小為arccos

3 6

8

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面平行的判定定理，線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，二面角的求法，空間向量及空間直角坐標(biāo)系在立體幾何中的應(yīng)用