Question

A、已知：如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，O是AB上一點，以O為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點E，與AC切于點D，連接DB、DE、OC．若AD=2，AE=1，求CD的長．
B．運用旋轉矩陣，求直線2x+y-1=0繞原點逆時針旋轉45°后所得的直線方程．
C．已知A是曲線ρ=3cosθ上任意一點，求點A到直線ρcosθ=1距離的最大值和最小值．
D．證明不等式：

1

1

+

1

1×2

+

1

1×2×3

+L+

1

1×2×3×L×n

＜2．

Answer 1

分析：選A，根據切割線定理可知AD²=AE•AB，AB=4，EB=3，利用△ADE∽△ACO，可求CD的長．
選B，先寫成旋轉矩陣，再得出旋轉前后坐標之間的關系，代入已知方程，即可得答案．
選C，兩邊同乘以ρ，利用公式可得直角坐標方程，進而可求點線距離的最值；
選D，將坐標的分母縮小，進而利用等比數列的求和公式，從而得證．

解答：A．解：根據切割線定理可知AD²=AE•AB，
∵AD=2，AE=1
∴AB=4，EB=3，
∵AB是圓的直徑
∴DE⊥DB
∵DE⊥OC
∴DE∥OC
∴△ADE∽△ACO，
∴CD=3
B．設直線2x+y-1=0上任意一點（x₀，y₀）旋轉變換后（x₀′，y₀′）
∵逆時針旋轉45°
∴旋轉矩陣為

cos45° -sin45° sin45° cos45°

∴

cos45° -sin45° sin45° cos45°

x0 y0

=

x0′ y0′

∴

x0= 2 2 x0′+ 2 2 y0′ y0=- 2 2 x0′+ 2 y0′ 2

∴直線2x+y-1=0繞原點逆時針旋轉45°后所得的直線方程是

2

x+

2

y-

2

2

x+

2

2

y-1=0
C．將極坐標方程轉化成直角坐標方程：
ρ=3cosθ，兩邊同乘以ρ，即得：x²+y²=3x，
∴圓的方程為（x-

3

2

）²+y²=

9

4

，
又ρcosθ=1即x=1，
∴直線與圓相交
∴所求最大值為2，最小值為0．
D．證明：

1

1

+

1

1×2

+

1

1×2×3

+L+

1

1×2×3×L×n

＜1+

1

2

+

1

22

++

1

2n-1

=1+

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

=2-

1

2 n-1

＜2，
從而得證．

點評：本題是選做題，難度相等，綜合考查學生對系列4的掌握程度，綜合性強．