Question

【題目】設直線的方程為.

(1)求證:不論為何值，直線必過一定點;

(2)若直線分別與軸正半軸，軸正半軸交于點，，當而積最小時，求的周長;

(3)當直線在兩坐標軸上的截距均為整數時，求直線的方程.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) ；(3) ，，，，

【解析】

(1)將原式變形為，由可得直線必過一定點；

(2)由題可得，，則，求出最值，并找到最值的條件，進而可得的周長；

(3) ，均為整數，變形得，只要是整數即可，另外不要漏掉截距為零的情況，求出，進而可得直線的方程.

解：(1)由得，

則，解得，

所以不論為何值，直線必過一定點；

(2)由得，

當時，，當時，，

又由，得，

，

當且僅當，即時，取等號.

，，

的周長為；

(3) 直線在兩坐標軸上的截距均為整數，

即，均為整數，

，，

又當時，直線在兩坐標軸上的截距均為零，也符合題意，

所以直線的方程為，，，，.