Question

已知可以表示為一個奇函數與一個偶函數之和，若不等式對于恒成立，則實數的取值范圍是____________.

Answer 1

 

試題分析：依題意，g(x)+h(x)= .....（1），∵g(x)是奇函數，∴g(-x)=-g(x)；∵h(x)是偶函數，∴h(-x)=h(x)；
∴g(-x)+h(-x)="h(x)-g(x)=" ......(2)
解(1)和(2)組成的方程組得h(x)= ，g(x)=  
∴ag(x)+h(2x)=a + ，∴a· +≥0在x∈[1,2]恒成立
令t=，∴= ，當x∈[1,2]時，t∈[2,4]，
∴原不等式化為a(t－)+(t²+)≥0在t∈[2,4]上恒成立，由不等式a(t－)+(t²+)≥0，
可得a(t－)≥－(t²+)，∵當t∈[2,4]時，t－t>0恒成立，∴a≥ ==  ，即a≥在t∈[2,4]上恒成立，
令u=t－,求導得=1+>0恒成立，∴u=t-在t∈[2,4]上單調遞增
∴u∈[ ]，令f(u)=u+，u∈[]，
求導得(u)=1->0在u∈[]上恒成立，∴f(u)在u∈[]上單調遞增
即當u=，f(u)取最小值f()= ，
當u=時，可解得t=2（另一根不在t∈[2,4]內故舍去）
∴當t=2時， 取最小值為 ，即取最大值為－，∴a≥－，當t=2，x=1時取等號，∴a的最小值為－．