Question

已知數(shù)列滿足，．
（1）求的值，由此猜測(cè)的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；
（2）證明：．

Answer 1

（1）猜想，證明詳見解析；（2）證明詳見解析.

解析試題分析：（1）根據(jù)遞推關(guān)系，依次附值即可得到的取值，進(jìn)而作出猜想，然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；（2）先化簡(jiǎn)，進(jìn)而采用放縮法得到，進(jìn)而將取1，2，3，……，時(shí)的不等式相乘即可證明不等式，然后構(gòu)造函數(shù)，確定該函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，進(jìn)而得到在恒成立，從而可得即，問題得以證明.
（1）令可知，，
猜想，下用數(shù)學(xué)歸納法證明.
（1）時(shí)，顯然成立；
（2）假設(shè)時(shí)，命題成立.即.
當(dāng)時(shí)，由題可知.
故時(shí)，命題也成立.
由（1）（2）可知，.
（2）證明：∵


∴
由于，可令函數(shù)，則，令，得，給定區(qū)間，則有，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，即在恒成立，又，則有，即
所以.
考點(diǎn)：1.數(shù)學(xué)歸納法；2.數(shù)列不等式的證明——放縮法、構(gòu)造函數(shù)法、數(shù)學(xué)歸納法等.