Question

設l₁，l₂，l₃為空間中三條互相平行且兩兩間的距離分別為4，5，6的直線．給出下列三個結論：
①?A_i∈l_i（i=1，2，3），使得△A₁A₂A₃是直角三角形；
②①?A_i∈l_i（i=1，2，3），使得△A₁A₂A₃是等邊三角形；
③三條直線上存在四點A_i（i=1，2，3，4），使得四面體A₁A₂A₃A₄為在一個頂點處的三條棱兩兩互相垂直的四面體．
其中，所有正確結論的序號是（ ）
A．①
B．①②
C．①③
D．②③

Answer 1

【答案】分析：本題利用畫圖結合運動變化的思想進行分析．我們不妨先將 A、B、C 按如圖所示放置，容易看出此時 BC＜AB=AC．
現在，我們將 A 和 B 往上移，并且總保持 AB=AC（這是可以做到的，只要 A、B 的速度滿足一定關系），而當A、B 移得很高很高時，就得到①和②都是正確的．至于③，結合條件利用反證法的思想方法進行說明即可．
解答：解：我們不妨先將 A、B、C 按如圖所示放置．

容易看出此時 BC＜AB=AC．
現在，我們將 A 和 B 往上移，并且總保持 AB=AC（這是可以做到的，只要 A、B 的速度滿足一定關系），而當A、B 移得很高很高時，不難想象△ABC 將會變得很扁，也就是會變成頂角 A“非常鈍”的一個等腰鈍角三角形．于是，在移動過程中，總有一刻，使△ABC 成為等邊三角形，亦總有另一刻，使△ABC 成為直角三角形（而且還是等腰的）．
這樣，就得到①和②都是正確的．
至于③，如圖所示．

為方便書寫，稱三條兩兩垂直的棱所共的頂點為?．
假設 A 是?，那么由 AD⊥AB，AD⊥AC 知 L₃⊥△ABC，從而△ABC 三邊的長就是三條直線的距離 4、5、6，這就與 AB⊥AC 矛盾．同理可知 D 是?時也矛盾；
假設 C 是?，那么由 BC⊥CA，BC⊥CD 知 BC⊥△CAD，而 l₁∥△CAD，故 BC⊥l₁，從而 BC 為 l₁與 l₂ 的距離，于是 EF∥BC，EF=BC，這樣就得到 EF⊥FG，矛盾．同理可知 B 是?時也矛盾．
綜上，不存在四點A_i（i=1，2，3，4），使得四面體A₁A₂A₃A₄為在一個頂點處的三條棱兩兩互相垂直的四面體．
故選B．
點評：本小題主要考查命題的真假判斷與應用，考查空間想象能力、化歸與轉化思想．屬于難題．