Question

已知橢圓的左焦點F及點A（0，b），原點O到直線FA的距離為．
（1）求橢圓C的離心率e；
（2）若點F關于直線l：2x+y=0的對稱點P在圓O：x²+y²=4上，求橢圓C的方程及點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）由點F（-ae，0），點A（0，b）及得直線FA的方程為，由原點O到直線FA的距離為，知，由此能求出橢圓C的離心率．
（2）設橢圓C的左焦點F關于直線l：2x+y=0的對稱點為P（x，y），則有，由此入手能夠推導出點P的坐標．
解答：解：（1）由點F（-ae，0），點A（0，b）及得直線FA的方程為，即，（2分）
∵原點O到直線FA的距離為，
∴．（5分）
故橢圓C的離心率．（7分）
（2）解：設橢圓C的左焦點F關于直線l：2x+y=0的對稱點為P（x，y），則有（10分）
解之，得．∵P在圓x²+y²=4上
∴，
∴a²=8，b²=（1-e²）a²=4．（13分）
故橢圓C的方程為，
點P的坐標為．（14分）
點評：本題考查橢圓的離心率的求法、求解橢圓方程的方法和點的坐標的求解，解題時要認真審題，仔細解答．