Question

已知{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為S_n，等比數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，S₄=2S₂+4，b2=

1

9

，T2=

4

9

（1）求公差d的值；
（2）若對(duì)任意的n∈N^*，都有S_n≥S₈成立，求a₁的取值范圍；
（3）若a1=

1

2

，判別方程S_n+T_n=2010是否有解？說(shuō)明理由．國(guó)．

Answer 1

分析：（1）由S₄=2S₂+4，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出公差d的值即可．
（2）解法1：由a_n=a₁+（n-1）d=n+a₁-1，知 Sn=

a1+an

2

n=

1

2

[n2+(2a1-1)n]，再由對(duì)任意的n∈N^*，都有S_n≥S₈，知

15

2

≤-

2a1-1

2

≤

17

2

，由此能求出a₁的取值范圍．
解法2：由于等差數(shù)列{a_n}的公差d=1＞0，S_n要取得最大值，必須有

a8≤0 a9≥0

，由此能求出a₁的取值范圍．
（3）由于等比數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足 b2=

1

9

，T2=

4

9

b1q= 1 9 b1+b1q= 4 9

，b1=

1

3

   q=

1

3

Tn=

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=

1

2

[1-(

1

3

)n]，Sn=na1+

1

2

n(n-1)d=

1

2

n2，所以方程S_n+T_n=2009轉(zhuǎn)化為：n2+[1-(

1

3

)n]=4018，由此推導(dǎo)出方程S_n+T_n=2009無(wú)解．

解答：解答：解：（1）∵S₄=2S₂+4，∴4a1+

3×4

2

d=2(2a1+d)+4（2分）
解得d=1（4分）
（2）解法1：a_n=a₁+（n-1）d=n+a₁-1（1分）
Sn=

a1+an

2

n=

1

2

[n2+(2a1-1)n]
∵對(duì)任意的n∈N^*，都有S_n≥S₈，∴

15

2

≤-

2a1-1

2

≤

17

2

（4分）
∴-8≤a₁≤-7
∴a₁的取值范圍是[-8，-7]（5分）
解法2：由于等差數(shù)列{a_n}的公差d=1＞0，S_n要取得最大值，
必須有

a8≤0 a9≥0

（1分）

a1+7d≤0 a1+8d≥0

求得-8≤a₁≤-7（4分）
∴a₁的取值范圍是[-8，-7]（5分）
（3）由于等比數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足 b2=

1

9

，T2=

4

9

b1q= 1 9 b1+b1q= 4 9

（1分）
b1=

1

3

   q=

1

3

Tn=

1 3 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

=

1

2

[1-(

1

3

)n]（2分）
Sn=na1+

1

2

n(n-1)d=

1

2

n2（3分）
則方程S_n+T_n=2009轉(zhuǎn)化為：n2+[1-(

1

3

)n]=4018（3分）
令：f(n)=n2+1-(

1

3

)n，
由于 f(n+1)-f(n)=2n+1+

2

3

(

1

3

)n＞0
所以f（n）單調(diào)遞增（4分）
當(dāng)1≤n≤63時(shí)，f(n)≤632+[1-(

1

3

)63]＜632+1=3970（5分）
當(dāng)n≥64時(shí)，f(n)≥642+[1-(

1

3

)64]＞642=4096（6分）
綜合：方程S_n+T_n=2009無(wú)解．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)、函數(shù)、方程思想．考查轉(zhuǎn)化、論證、計(jì)算能力．