Question

已知a＞0，且a≠1，f(x)=

1

x

-ax，當x∈(

1

2

，+∞)時，均有f(x)＜

1

2

，則實數a的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：先通過移項分離成兩個函數，然后問題就轉化為一個函數的最大值小于另一個函數的最小值的問題，然后分底數大于0小于1和大于1兩種情況進行求解，綜合兩種情況就可得出a的范圍．

解答：解：由題意即：x∈(

1

2

，+∞)，

1

x

-ax＜

1

2

恒成立
?∈(

1

2

，+∞)，

1

x

-

1

2

＜ax   ①恒成立
令h（x）=

1

x

-

1

2

，g（x）=a^x
問題轉化為h（x）的最大值小于g（x）的最小值
∵h（x）=

1

x

-

1

2

在x∈(

1

2

，+∞)上單調遞減，∴當x=

1

2

時，h(x)max=2-

1

2

=

3

2

當0＜a＜1時，g（x）在x∈(

1

2

，+∞)上單調遞減，∴0＜ax＜a

1

2

，∵a

1

2

＜1＜

3

2

，此時不等式①不能恒成立
當a＞1時，g（x）在x∈(

1

2

，+∞)上單調遞增，∴ax＞a

1

2

，要使①恒成立，則 a

1

2

≥

3

2

，∴a≥

9

4

綜上所述，a≥

9

4

故答案為：[

9

4

，+∞)

點評：本題主要考查了函數恒成立問題，一般方法是分離常數之后構造函數，轉化為函數求最值問題，但本題無法分離常數，所以分離為兩個常見函數，轉化為兩個函數的最值關系問題．