Question

如右圖所示，有一塊半徑為R的半圓形鋼板，計劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是⊙O的直徑，且上底CD的端點在圓周上，寫出梯形周長y關于腰長x的函數關系式，并求出它的定義域．

Answer 1

分析：如圖所示，連接OD，OC，在△OAD中，若設∠AOD=θ，由余弦定理可得，cosθ=

2R2-x2

2R2

；在△OCD中，由∠COD=180°-2θ，可得DC²=2R²-2R²•cos（180°-2θ），從而得DC；即得梯形的周長y和x的取值范圍．

解答：解：如圖所示，連接OD，OC，則OC=OD=OA=OB=R，
在△OAD中，設∠AOD=θ，AD=x，由余弦定理，得
x²=2R²-2R²•cosθ，θ∈（0，90°），∴cosθ=

2R2-x2

2R2

；
在△OCD中，∠COD=180°-2θ，同理
DC²=2R²-2R²•cos（180°-2θ）=2R²（1+cos2θ）=2R²•2cos²θ=4R²•cos²θ，
∴DC=2R•cosθ=2R•

2R2-x2

2R2

=2R-

x2

R

；
所以梯形的周長：y=2R+2x+（2R-

x2

R

）=-

x2

R

+2x+4R；
∵x²=2R²-2R²•cosθ＜2R²，∴x＜

2

R，∴定義域為（0，

2

R）．

點評：本題考查了余弦定理在解三角形中的應用，也考查了二倍角公式的靈活應用；解題時應細心計算，以避免出現錯誤．