Question

已知（1+）ⁿ展開式的各項依次記為a₁（x），a₂（x），a₃（x）…a_n（x），a_n+1（x）．設F（x）=a₁（x）+2a₂（x）+2a₂（x）+3a₃（x）…+na_n（x）+（n+1）a_n+1（x）．
（1）若a₁（x），a₂（x），a₃（x）的系數依次成等差數列，求n的值；
（2）求證：對任意x₁，x₂∈[0，2]，恒有|F（x₁）-F（x₂）|≤2^n-1（n+2）-1．

Answer 1

解：（1）由題意可得 a_k（x）=•，k=1、2、3，…n+1，
故a₁（x），a₂（x），a₃（x）的系數依次為 =1，•=，=．
再由2×=1+，解得 n=8．
（2）∵F（x）=a₁（x）+2a₂（x）+2a₂（x）+3a₃（x）…+na_n（x）+（n+1）a_n+1（x）
=+2•（）+3•+（n+1）•，
∴F（2）=+2+3+…+（n+1）．
設S_n=+2+3+…+（n+1），則有S_n=（n+1）+n+…+3+2+．
把以上2個式子相加，并利用= 可得 2S_n=（n+2）[+++…+]=（n+2）•2^n-1，
∴S_n=（n+2）•2^n-2．
當x∈[0，2]時，由于F′（x）＞0，∴F（x）在[0，2]上是增函數，故對任意x₁，x₂∈[0，2]，
恒有|F（x₁）-F（x₂）|≤F（2）-F（0）=2^n-1（n+2）-1，命題得證．
分析：（1）由題意可得 a_k（x）=•，求得a₁（x），a₂（x），a₃（x）的系數，根據前三項的系數成等差數列求得n的值．
（2）由F（x）的解析式求得 F（2）═+2+3+…+（n+1），設S_n=+2+3+…+（n+1），利用二項式系數的性質求得S_n=（n+2）•2^n-2．再利用導數可得F（x）在[0，2]上是增函數可得對任意x₁，x₂∈[0，2]，恒有|F（x₁）-F（x₂）|≤F（2）-F（0）=2^n-1（n+2）-1．
點評：本題主要考查等差數列的性質，二項式定理的應用，二項式系數的性質，利用導數研究函數的單調性，根據函數的
單調性求函數的值域，屬于中檔題．