Question

【題目】已知函數， ．

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程．

（Ⅱ）當時，若曲線上的點都在不等式組所表示的平面區域內，試求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】試題分析：

（Ⅰ）根據導數的幾何意義求出切線方程即可。（Ⅱ）將問題轉化為：當時，不等式恒成立。構造函數設， ，只需證明即可。因此將問題轉化為求函數在區間上的最大值和最小值即可。

試題解析：

（Ⅰ） 當時， ， ，

∴，

∴，

又，

∴曲線在點處的切線方程為，

即．

（Ⅱ）“當時，曲線上的點都在不等式組所表示的平面區域內，”

等價于“當時， 恒成立。”

設， ，

則，

①當，即時，

當時， ， 單調遞減，

故，

根據題意有，解得.

②當，即時，

則當， ， 單調遞增，

當， ， 單調遞減.

∵，

∴不符合題意．

③當，即時，注意到，顯然不合題意．

綜上所述，實數．