Question

已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA₁B₁C₁D₁中, P,Q是面對(duì)角線A₁C₁上的兩個(gè)不同動(dòng)點(diǎn).
①存在P,Q兩點(diǎn),使BPDQ;
②存在P,Q兩點(diǎn),使BP,DQ與直線B₁C都成45⁰的角;
③若|PQ|=1,則四面體BDPQ的體積一定是定值;
④若|PQ|=1,則四面體BDPQ在該正方體六個(gè)面上的正投影的面積的和為定值.
以上命題為真命題的個(gè)數(shù)是(  )

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

C

試題分析：①存在P,Q兩點(diǎn),使BPDQ是正確的，因?yàn)楫?dāng)P為,Q為時(shí)BPDQ；②存在P,Q兩點(diǎn),使BP,DQ與直線B₁C都成45⁰的角是錯(cuò)誤的，因?yàn)锽P與直線B₁C所成的角最小角為；③若|PQ|=1,則四面體BDPQ的體積一定是定值是正確的，設(shè)與的交點(diǎn)為，則平面，平面將四面體BDPQ分成兩個(gè)棱錐，高的和為，故體積不變；④若|PQ|=1, ,則四面體BDPQ在該正方體六個(gè)面上的正投影的面積的和為定值是正確的，當(dāng)P,Q在面對(duì)角線A₁C₁上移動(dòng)時(shí)，在各個(gè)面上的正投影的面積不變，故它的正投影的面積的和為定值．