Question

（2012•通州區一模）已知函數f（x）=lnx-x²．
（I）求函數f（x）的單調遞增區間；
（II）求函數f（x）在（0，a]（a＞0）上的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，令f′（x）＞0，可得函數f（x）的單調遞增區；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函數在（0，

2

2

）為增函數，同理可得函數f（x）在（

2

2

，+∞）為減函數，進而分類討論，確定函數f（x）在（0，a]（a＞0）上的單調性，從而可求函數f（x）最大值．

解答：解：（Ⅰ）因為函數f（x）=lnx-x²，x＞0，所以f′(x)=

1

x

-2x=

1-2x2

x

令f′（x）＞0，所以0＜x＜

2

2

所以函數f（x）的單調遞增區間是（0，

2

2

）．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函數在（0，

2

2

）為增函數，
同理可得函數f（x）在（

2

2

，+∞）為減函數．…（6分）
所以當0＜a＜

2

2

時，函數f（x）在（0，a）上單調遞增，
所以函數f（x）的最大值為f（a）=lna-a²；       …（9分）
當a≥

2

2

時，函數f（x）在（0，

2

2

）上單調遞增，在（

2

2

，a）上單調遞減，
所以函數f（x）最大值為f(

2

2

)=ln

2

2

-

1

2

     …（12分）
綜上所述，當0＜a＜

2

2

時，函數f（x）的最大值為f（a）=lna-a²； 當a≥

2

2

時，函數f（x）最大值為f(

2

2

)=ln

2

2

-

1

2

  …（13分）

點評：本題考查函數的單調性，考查函數的最值，正確求導，確定函數的單調性是關鍵．