Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4，AA₁=

7

，點D是BC的中點，點E在AC上，且DE⊥A₁E．
（1）證明：平面A₁DE⊥平面ACC₁A₁；
（2）求直線AD和平面A₁DE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）先由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的性質知AA₁⊥平面ABC，?DE⊥AA₁．再由DE⊥A₁E?DE⊥平面ACC₁A₁．即可得出結論；
（2）設O是AC的中點．先建立一個以O為原點建立空間直角坐標系，得到相關各點的坐標．再利用線面角的求法在空間直角坐標系內找到直線AD和平面A₁DE所成角的正弦值即可．

解答：解：（1）證明：如圖所示，由正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的性質知AA₁⊥平面ABC．
又DE?平面ABC，
所以DE⊥AA₁．
而DE⊥A₁E．AA₁∩A₁E=A₁，
所以DE⊥平面ACC₁A₁．
又DE?平面A₁DE，
故平面A₁DE⊥平面ACC₁A₁．

（2）如圖所求，設O是AC的中點，以O為原點建立空間直角坐標系，
則相關各點的坐標分別是
A（2，0，0），A₁（2，0，

7

），D（-1，

3

，0），E（-1，0，0）．
易知

A1D

=（-3，

3

，-

7

），

DE

=（0，-

3

，0），

AD

=（-3，

3

，0）．
設n=（x，y，z）是平面A₁DE的一個法向量，
解得x=-

7

3

z，y=0．
故可取n=（

7

，0，-3）．
于是cos＜?n，A＞?═

-3 7

4×2 3

=-

21

8

．
由此即知，直線AD和平面A₁DE所成角的正弦值為

21

8

．

點評：本題考查平面和平面垂直的判定和性質．在證明面面垂直時，其常用方法是在其中一個平面內找兩條相交直線和另一平面內的某一條直線垂直