Question

設函數，其對應的圖像為曲線C；若曲線C過，且在點處的切斜線率

（1）求函數的解析式

（2）證明不等式.

 

Answer 1

【答案】

（1） ；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）由題設可得兩個方程：  ①，   ②.解這個方程組，求得的值，便得函數的解析式.（2）要證明不等式只需證（）的最大值小于等于0即可，而利用導數很易求得的最大值，從而使問題得證.

試題解析：（1）由得 

∵曲線C過      ∴   ①                 2分

又∵曲線C在點處的切斜線率

∴   ②                          4分

聯立①②解之得                       5分

∴函數的解析式為              6分

（2）由（1）知其定義域為

令（），則         8分

令（），解之得         10分

∴函數在 上單調遞增，在 上單調遞減，    12分

而,所以的最大值為0，故當時，即.  13分

考點：導數的應用.