Question

以下有四個命題：
①一個等差數(shù)列{a_n}中，若存在a_k+1＞a_k＞O（k∈N），則對于任意自然數(shù)n＞k，都有a_n＞0；
②一個等比數(shù)列{a_n}中，若存在a_k＜0，a_k+1＜O（k∈N），則對于任意n∈N，都有a_n＜0；
③一個等差數(shù)列{a_n}中，若存在a_k＜0，a_k+1＜0（k∈N），則對于任意n∈N，都有a_n＜O；
④一個等比數(shù)列{a_n}中，若存在自然數(shù)k，使a_k•a_k+1＜0，則對于任意n∈N，都有a_n．a(chǎn)_n+1＜0；
其中正確命題的個數(shù)是（ ）
A．0個
B．1個
C．2個
D．3個

Answer 1

【答案】分析：對四個選項逐個加以判別：根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和它的性質(zhì)，可得①是正確的而③是不正確的；根據(jù)等比數(shù)列的通項公式及其性質(zhì)，可得②和④是正確的．由此不難得出正確的答案．
解答：解：對于①，等差數(shù)列{a_n}中，若存在a_k+1＞＞O（k∈N），
說明數(shù)列的公差d＞0，且第k項為正數(shù)，說明從第k項往后各項均大于a_k為正數(shù)
則對于任意自然數(shù)n＞k，都有a_n＞0，故①是正確的；
對于②，等比數(shù)列{a_n}中，若存在a_k＜0，a_k+1＜O（k∈N），
根據(jù)等比數(shù)列奇數(shù)項符號相同、偶數(shù)項符號也相同的規(guī)律，
知此等比數(shù)列的所有項均為負(fù)數(shù)，對于任意n∈N，都有a_n＜0，故②是正確的；
對于③，一個等差數(shù)列{a_n}中，若存在a_k＜0，a_k+1＜0（k∈N），
有可能它的前面有限項為正，而公差為負(fù)，如：5，3，1，-1，-3，-5，…
所以結(jié)論：對于任意n∈N，都有a_n＜O不成立，故③是不正確的；
對于④，等比數(shù)列{a_n}中，若存在自然數(shù)k，使a_k•a_k+1＜0，
說明這兩項一個為正數(shù)，另一個為負(fù)數(shù)，則它公比q＜0
由此，對于任意n∈N，都有a_n．a(chǎn)_n+1=a_n²q＜0，故④是正確的；
故正確的命題是①②④
故選D
點評：本題以等差數(shù)列和等比數(shù)列為例，考查了命題真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題．熟練掌握等差、等比數(shù)列的通項與性質(zhì)，是解決好本題的關(guān)鍵所在．