Question

已知x∈（-∞，1]時，不等式1+2^x+（a-a²）4^x＞0恒成立，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：可設t=2^x，則f（t）=1+t+（a-a²）t²，不等式化為1+t+（a-a²）t²＞0恒成立即為f（t）的最小值大于0即可求出a的范圍．

解答：解：設t=2^x，則f（t）=1+t+（a-a²）t²，由x∈（-∞，1]得t∈（0，2]
a=0時，不等式恒成立；a=1不等式恒成立，a≠0，1時，
此函數為二次函數則f（t）的最小值為-4a²+8a-3，則4a²-8a+3＜0，
求出解集為 -

1

2

＜a＜

3

2

，a≠0，1；
綜上-

1

2

＜a＜

3

2

，
故答案為：(-

1

2

，

3

2

)

點評：考查學生理解掌握不等式恒成立的條件，以及利用換元法解決數學問題的能力，屬中檔題．